%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Contents: Math typesetting with LaTeX (LShort2e Introduction)
% File: math.tex (Polish translation)
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\chapter{Wyra�enia matematyczne\label{chp:math}}

\begin{intro}
  Nareszcie! W~tym rozdziale poznasz najlepsz� stron�
  \TeX-a, czyli sk�ad wzor�w matematycznych.  Ostrzegamy jednak,
  �e przedstawimy tu tylko absolutne podstawy. Chocia�
  wi�kszo�ci u�ytkownik�w one wystarczaj�, nie
  za�amuj r�k, je�eli nie~poradzisz sobie
  z~jakim� skomplikowanym wzorem, tylko raczej
  zapoznaj si� z~mo�liwo�ciami pakietu \AmS-\LaTeX%
  \footnote{\CTAN{macros/latex/packages/amslatex}.}
  lub innego specjalizowanego pakietu.
\end{intro}

\section{Wst�p}

Do sk�adu wyra�e� matematycznych  mamy w~\LaTeX-u specjalny \emph{tryb
matematyczny\index{tryb matematyczny}}.  Oznacza~to
wpisywanie wzor�w pomi�dzy \ci{(}~i~\ci{)}\index{$@\texttt{\$}} %$
albo \texttt{\$} i~\texttt{\$}, albo pomi�dzy
\verb|\begin{|\ei{math}\verb|}| oraz \verb|\end{math}|.
%
\begin{example}
$a$ do kwadratu plus~$b$
do kwadratu r�wna si�~$c$ 
do kwadratu. Albo, stosuj�c
bardziej matematyczne
podej�cie, $c^{2}=a^{2}+b^{2}$.
\end{example}
%
\begin{example}
{\TeX} nale�y wymawia� jako
$\tau\epsilon\chi$.\\[6pt]
100~m$^{3}$ wody \\[6pt]
To p�ynie z~mojego~$\heartsuit$
\end{example}
%
\noindent
Sk�adaj�c wi�ksze wzory, powinni�my je eksponowa�, to znaczy
wstawia� mi�dzy akapitami w~osobnym wierszu. Takie wzory
umieszcza si� albo 
pomi�dzy \ci{[}~i~\ci{]}\index{$@\texttt{\$}}, %$,
albo wewn�trz �rodowiska \ei{displaymath}. Ta ostatnia
konstrukcja dotyczy tworzenia wzor�w bez �adnej numeracji. Do
automatycznego numerowania wzor�w stosujemy natomiast �rodowisko
\ei{equation}.
%
\begin{example}
$a$ do kwadratu plus~$b$ do 
kwadratu r�wna si�~$c$ do kwadratu. 
Albo, bardziej matematycznie,
\begin{displaymath}
c^{2}=a^{2}+b^{2}
\end{displaymath}
Pierwszy wiersz w~drugim akapicie.
\end{example}
%
\noindent
Instrukcje \verb|\label| oraz \verb|\ref| s�u�� do tworzenia
odsy�aczy do r�wna�.
%
\begin{example}
\begin{equation}
\epsilon > 0 \label{eq:eps}
\end{equation}
Ze wzoru (\ref{eq:eps}) 
otrzymujemy \ldots
\end{example}
%
\noindent
Zwr��my uwag�, �e inaczej sk�ada si� wzory
wewn�trz akapitu, a~inaczej eksponowane:
%
\begin{example}
$\lim_{n \to \infty}
\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2}
= \frac{\pi^2}{6}$
\end{example}
%
\begin{example}
\begin{displaymath}
\lim_{n \to \infty}
\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2}
= \frac{\pi^2}{6}
\end{displaymath}
\end{example}
%
\noindent
Mi�dzy \emph{trybem matematycznym} \LaTeX-a a~\emph{trybem
  tekstowym} istniej� du�e r�nice.  Na przyk�ad w~\emph{trybie
  matematycznym}:

\begin{enumerate}
\item 
  {\LaTeX} ignoruje prawie wszystkie odst�py oraz znaki ko�ca linii;
  wszystkie odst�py we wzorach wynikaj� albo 
  z~kontekstu albo z~u�ycia specjalnych polece�, takich jak
  \ci{,}, \ci{quad} lub \ci{qquad}.  
\item 
  Puste linie s� niedozwolone. Obowi�zuje zasada: jeden
  wz�r -- jeden akapit.
\item 
  Litery we wzorach s�u�� do oznaczania nazw zmiennych;
  zmienne sk�adamy inaczej ni� zwyk�y tekst. Je�eli
  cz�ci� wzoru jest zwyk�y tekst, to nale�y
  pos�u�y� si� instrukcj� \verb|\textrm{...}|.
\end{enumerate}

\begin{example}
\begin{equation}
\forall x \in \mathbf{R}\colon
\qquad x^{2} \geq 0
\end{equation}
\end{example}

\begin{example}
\begin{equation}
x^{2} \geq 0\qquad
\textrm{dla ka�dego }x\in\mathbf{R}
\end{equation}
\end{example}
%
%
%
% Add AMSSYB Package ... Blackboard bold .... R for realnumbers
%
\noindent
Matematycy potrafi� by� niezwykle staranni w~doborze
odpowiednich symboli.  Na przyk�ad we wzorach, w~kt�rych
wyst�puj� oznaczenia zbior�w  (jak powy�szy), cz�sto
stosuje si� kr�j, w~kt�rym te oznaczenia
przypominaj� odmian� ,,grub�'', pisan� kred� na
tablicy\ifx\mathbb\undefined\else\space ($\mathbb{A,B,C}\dots$)\fi.
Symbole takie wstawiamy do wzoru poleceniem \ci{mathbb} z~pakietu
\pai{amsfonts} lub \pai{amssymb}.
%
\ifx\mathbb\undefined\else
Ostatni przyk�ad wygl�da wtedy nast�puj�co:
\begin{example}
\begin{displaymath}
x^{2} \geq 0\qquad
\textrm{dla ka�dego }x\in\mathbb{R}
\end{displaymath}
\end{example}
\fi

%%
\section{Grupowanie}

Wi�kszo�� instrukcji sk�adu matematyki dotyczy tylko jednego,
nast�puj�cego po instrukcji znaku. Je�eli polecenie ma
dotyczy� grupy znak�w, to nale�y je umie�ci� wewn�trz
pary nawias�w klamrowych \verb|{...}|.
%
\begin{example}
\begin{equation}
a^x+y \neq a^{x+y}
\end{equation}
\end{example}

\section{Cz�ci sk�adowe wyra�e� matematycznych }

W~tym podrozdziale opiszemy wa�niejsze instrukcje do sk�adu
wyra�e�. Zestawienie wszystkich dost�pnych symboli
i~znak�w podajemy w~punkcie~\ref{symbols} na
stronie~\pageref{symbols}.

\textbf{Ma�e litery alfabetu greckiego\index{litera grecka}}
wprowadzamy, u�ywaj�c instrukcji typu: \verb|\alpha|,
\verb|\beta|, \verb|\gamma| itd., a du�e\footnote{Obecnie brak
  du�ej litery \emph{Alpha}, poniewa� wygl�da ona identycznie
  jak pierwsza litera \emph{A} alfabetu �aci�skiego. Sytuacja ta
  ma si� zmieni� po wprowadzeniu nowego sposobu kodowania symboli
  matematycznych.}: \verb|\Delta|, \verb|\Gamma|, itd.

%
%\begin{TPextension}
%  Zwr��my uwag� na kolejne \emph{nieprzyjemne} odst�pstwo
%  od lansowanego w~tym opracowaniu formatowania logicznego.
%  Koduj�c \emph{Alfa} jako A, uniemo�liwiamy na przyk�ad
%  prawid�ow� prac� programu audio, bo nie b�dzie on
%  w~stanie rozpozna�, czy ma do czynienia z~liter�
%  �aci�sk�, czy greck�.
%
%\end{TPextension}
%
\begin{example}
$\lambda,\xi,\pi,\mu,\Phi,\Omega$
\end{example}
%
\noindent
\textbf{Indeksy
  g�rne\index{indeks!g�rny}} i~\textbf{wyk�adniki} otrzymujemy
za pomoc� znaku \verb|^|\index{^@\verb"+^"+},
a~\textbf{dolne\index{indeks!dolny}} stosuj�c
\verb|_|\index{_@\verb"+_"+}.
%
\begin{example}
$a_{1} x^{2} e^{-\alpha t}
a^{3}_{ij} e^{x^2} \neq {e^x}^2$
\end{example}
%
\noindent
\textbf{Pierwiastek kwadratowy\index{pierwiastek kwadratowy}}
sk�adamy poleceniem \ci{sqrt}.
Wielko�� znaku pierwiastka {\LaTeX} ustala automatycznie.  Zapis
samego znaku pierwiastka umo�liwia nam instrukcja
\verb|\surd|\index{surd@\verb+surd+}\footnote{\begin{TPcomment}Taki 
  zapis jest wykorzystywany raczej 
  w~literaturze anglosaskiej.\end{TPcomment}}. 
Natomiast pierwiastek stopnia~$n$ sk�adamy
konstrukcj� \verb+\sqrt[+\emph{n}\verb+]+.
%
\begin{example}
$\sqrt{x} \sqrt{ x^{2}+\sqrt{y}}
\sqrt[3]{2} \surd[x^2 + y^2]$
\end{example}
%
\noindent
Polecenia \ci{overline} oraz \ci{underline} umieszczaj� poziome
kreski nad i~pod wyra�eniami.
%
\begin{example}
$\overline{m+n} \underline{x+y}$
\end{example}
%
\noindent
Instrukcje \ci{overbrace} oraz \ci{underbrace} umieszczaj� poziome
klamry nad i~pod wyra�eniami.
%
\begin{example}
$\underbrace{ a+b+\cdots+z }_{26}$
\end{example}
%
\noindent
Akcenty matematyczne\index{akcenty matematyczne}, takie jak daszki czy
tyldy nad zmiennymi, umieszczamy we wzorze za pomoc� instrukcji
zestawionych w~tabeli~\ref{mathacc}.  Szerokie daszki i~tyldy,
obejmuj�ce wiele symboli, wstawiamy u�ywaj�c instrukcji
\ci{widetilde} oraz \ci{widehat}.  U�ycie znaku
,,\verb|'|''\index{'@\verb"+'"+} powoduje wstawienie
symbolu~,,\wi{prim}''.
%
\begin{example}
\begin{displaymath}
\hat y=x^{2}\quad y'=2x'''
\end{displaymath}
\end{example}
%
\noindent
Niekiedy \textbf{wektory\index{wektor}} wyr�niamy, wstawiaj�c
akcent w~postaci strza�ki nad~nazw� zmiennej. S�u�y do
tego polecenie \ci{vec}. Natomiast do oznaczenia wektora od
punktu~$A$ do punktu~$B$ korzystamy z~polece� \ci{overrightarrow}
oraz~\ci{overleftarrow}.
%
\begin{example}
\begin{displaymath}
\vec a\quad\overrightarrow{AB}
\end{displaymath}
\end{example}
%
\noindent
Nazwy funkcji typu ,,logarytm'' nale�y sk�ada� odmian�
prost�, nie za� kursyw�, zarezerwowan� dla nazw zmiennych.
Oto lista polece� \LaTeX-a s�u��cych do~sk�adu rozmaitych
funkcji matematycznych:
%
\begin{verbatim}
\arccos \cos \csc \exp \ker \limsup \min \sinh
\arcsin \cosh \deg \gcd \lg \ln \Pr \sup
\arctan \cot \det \hom \lim \log \sec \tan
\arg \coth \dim \inf \liminf \max \sin \tanh
\end{verbatim}
%
\begin{example}
\[\lim_{x \rightarrow 0}
\frac{\sin x}{x}=1\]
\end{example}

\begin{TPextension}
  W~Polsce nazwy niekt�rych funkcji trygonometrycznych
  r�ni� si� od anglosaskich. Pakiet \pai{platex} -- po
  do��czeniu do dokumentu -- na �yczenie
  zmienia standardowe funkcje \LaTeX-a
  tak, �e s� one zgodne z~polskimi zwyczajami. Oto
  angielskie orygina�y: \begingroup\EnglishTrygFunctions $\tan$,
  $\coth$, $\tanh$, $\arccos$, $\arcsin$ \endgroup i~ich polskie
  odpowiedniki: $\tan$, $\ctgh$, $\tanh$, $\arccos$, $\arcsin$.
\end{TPextension}

\noindent
Dla funkcji typu modulo\index{modulo} istniej� dwie instrukcje:
\ci{bmod} dla binarnego operatora ``$a \bmod b$'' oraz \ci{pmod} do
sk�adu takich wyra�e� jak ``$x\equiv a \pmod{b}$.''

\textbf{U�amki pi�trowe\index{u�amek}} sk�ada
si� poleceniem \ci{frac}\verb|{...}{...}|. Jednak stosuj�c
u�amki zwyk�e\index{u�amek} typu $1/2$, lepiej
zapisywa� je z~uko�n� kresk�:
%
\begin{example}
$1\frac{1}{2}$~godziny
\begin{displaymath}
\frac{ x^{2} }{ k+1 }\quad
x^{ \frac{2}{k+1} }\quad x^{ 1/2 }
\end{displaymath}
\end{example}
%
\noindent
Do sk�adu dwumian�w lub podobnych konstrukcji mo�emy
wykorzysta� polecenie \verb|{... |\ci{choose}\verb| ...}| albo
\verb|{... |\ci{atop}\verb| ...}|. Instrukcja \ci{atop} daje
w~rezultacie to samo co \ci{choose}, tyle tylko �e bez nawias�w.
%
\begin{example}
\begin{displaymath}
{n \choose k}\qquad {x \atop y+2}
\end{displaymath}
\end{example}
%
\noindent
\textbf{Znak ca�ki\index{znak!ca�ki}} sk�adamy poleceniem
\ci{int}, natomiast \textbf{znak sumowania\index{znak!sumowania}} 
za~pomoc� instrukcji~\ci{sum}. G�rne granice
ca�kowania/sumowania okre�lamy za pomoc�~\verb|^|
a~dolne~\verb|_|, podobnie jak w~przypadku indeks�w g�rnych
i~dolnych.
%
\begin{example}
\begin{displaymath}
\sum_{i=1}^{n} \quad
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}
\end{displaymath}
\end{example}
%
\noindent
Do sk�adu \textbf{nawias�w\index{nawias}} i~innych
\textbf{ogranicznik�w\index{ogranicznik}}
(takich, jak: $[\;\langle\;\|\;\updownarrow$) u�ywa si� wielu r�nych
symboli.  Nawiasy okr�g�e i~kwadratowe wstawiamy bezpo�rednio
z klawiatury.  Nawiasy klamrowe wstawiamy za pomoc� polece�
\verb+\{+~oraz~\verb+\}+. Wszystkie inne ograniczniki wstawiamy z
u�yciem specjalnych polece� (np.~\verb|\updownarrow|).
Zestawienie wszystkich dost�pnych ogranicznik�w znajduje si�
w~tabeli~\ref{tab:delimiters} na stronie~\pageref{tab:delimiters}.
%
\begin{example}
\begin{displaymath}
{a,b,c}\neq\{a,b,c\}
\end{displaymath}
\end{example}
%
\noindent
Poprzedzenie otwieraj�cego ogranicznika poleceniem \ci{left},
a~zamykaj�cego poleceniem \ci{right}, powoduje automatyczne
ustalenie jego rozmiaru w~zale�no�ci od wielko�ci zawartego
mi�dzy nimi wyra�enia.  Uwaga: ka�de u�ycie \ci{left}
oraz ogranicznika wymaga nawiasu zamykaj�cego poprzedzonego poleceniem
\ci{right}. Gdy ogranicznik ma si� pojawi� tylko po jednej
stronie, w�wczas po drugiej \emph{nale�y} u�y� konstrukcji
\verb|\left.| (po lewej) lub \verb|\right.| (po prawej).
%
\begin{example}
\begin{displaymath}
1 + \left( \frac{1}{ 1-x^{2} }
\right) ^3
\end{displaymath}
\end{example}
%
\noindent
W pewnych sytuacjach nale�y samemu okre�li� w�a�ciw�
wielko�� ogranicznika.
Do tego celu s�u�� instrukcje \ci{big}, \ci{Big},
\ci{bigg} oraz \ci{Bigg}, poprzedzaj�ce odpowiedni
ogranicznik\footnote{Polecenia te nie dzia�aj� zgodnie z~oczekiwaniami,
  je�eli uprzednio wykorzystano instrukcje zmieniaj�ce stopie�
  pisma albo opcje \texttt{11pt} lub \texttt{12pt}.  W~takiej sytuacji
  nale�y skorzysta� z~pakietu \pai{exscale} albo pakietu
  \pai{amsmath}.}.
%
\begin{example}
$\Big( (x+1) (x-1) \Big) ^{2}$\\
$\big(\Big(\bigg(\Bigg($\quad
$\big\}\Big\}\bigg\}\Bigg\}$\quad
$\big\|\Big\|\bigg\|\Bigg\|$
\end{example}
%
\noindent
\textbf{Wielokropek\index{wielokropek}} w~wyra�eniach
matematycznych wprowadzamy poleceniem \ci{ldots}. Kropki pojawiaj�
si� wtedy na linii podstawowej\index{linia podstawowa}, 
to znaczy na jednakowej wysoko�ci
z~przecinkiem czy kropk�. Instrukcja \ci{cdots} wstawia natomiast
inny rodzaj wielokropka, w~kt�rym kropki znajduj� si� w~osi
znak�w $+$, $-$, $=$.  Ponadto s�~jeszcze instrukcje \ci{vdots}
oraz \ci{ddots}. Pierwsz� z~nich sk�adamy wielokropki pionowe, 
a~drug� sko�ne (zobacz przyk�ad w~punkcie~\ref{sec:vert}).
%
\begin{example}
\begin{displaymath}
x_{1},\ldots,x_{n} \qquad
x_{1}+\cdots+x_{n}
\end{displaymath}
\end{example}

%%
\section{Odst�py w~trybie matematycznym }

Zdarzaj� si� sytuacje, kiedy wielko��
odst�p�w\index{odst�p!w~trybie matematycznym} wewn�trz
wyra�e� matematycznych jest nieodpowiednia. Mo�na jednak
skorygowa� je samemu za~pomoc� odpowiednich 
instrukcji.  
Do wprowadzenia niewielkich odst�p�w 
s�u�y kilka polece�: \ci{,} wstawia
odst�p r�wny $\frac{3}{18}$ kwadratu (\demowidth{0.166em}),
\ci{:} pozwala uzyska� odst�p r�wny $\frac{4}{18}$ kwadratu
(\demowidth{0.222em}) a~\ci{;} odst�p r�wny $\frac{5}{18}$
kwadratu (\demowidth{0.277em}).  
U�ycie instrukcji \verb*+\ + (tj.
spacja po znaku ,,\verb+\+'') jest r�wnoznaczne z~utworzeniem
zwyk�ego odst�pu mi�dzywyrazowego; \ci{quad} z~odst�pem
r�wnym kwadratowi (\demowidth{1em}), a~\ci{qquad} dw�m kwadratom
(\demowidth{2em}).  Odst�p uzyskany poleceniem \ci{quad} odpowiada
szeroko�ci litery ,,M'' w~bie��cym kroju pisma.  Instrukcja
\verb|\!|\cih{"!} wstawia odst�p ,,ujemny'', to znaczy zamiast
zwi�ksza�, zmniejsza odst�p mi�dzy znakami. Wielko��
tego odst�pu wynosi $-\frac{3}{18}$ kwadratu (\demowidth{0.166em}).
%
\begin{example}
\newcommand{\ud}{\mathrm{d}}
\begin{displaymath}
\int\!\!\!\int_{D} g(x,y)
\, \ud x\, \ud y
\end{displaymath}
 %
zamiast
\begin{displaymath}
\int\int_{D} g(x,y)\ud x \ud y
\end{displaymath}
\end{example}
%
\noindent
Zwr��my uwag�, �e litera ,,d'' w~symbolu r�niczki
jest z�o�ona odmian� prost�
pisma\footnote{\begin{TPcomment}W~Polsce do sk�adu litery ,,d'' 
    w~r�niczkach stosuje si� kursyw� 
    matematyczn�.\end{TPcomment}}.

Dzi�ki zdefiniowanym w~pakiecie
\AmS-\LaTeX{}\footnote{\begin{TPcomment} �ci�lej m�wi�c, 
  w~pakiecie \pai{amsmath}.\end{TPcomment}} takim
instrukcjom~jak \ci{iint}, \ci{iiint}, \ci{iiiint} oraz \ci{idotsint}
powy�szy przyk�ad mo�na z�o�y� du�o pro�ciej:
 %
\begin{example}
\newcommand{\ud}{\mathrm{d}}

\begin{displaymath}
\iint_{D} \, \ud x \, \ud y
\end{displaymath}
\end{example}
 %
\noindent
Wi�cej wiadomo�ci na ten temat znajdziemy 
w~pliku \verb+testmath.tex+,
kt�ry jest cz�ci� pakietu {\AmS-\LaTeX} lub w~rozdziale �smym 
podr�cznika \emph{The {\LaTeX} Companion}\footnote{\CTAN{info/ch8}.}.


%%
\section{Wyr�wnywanie w~pionie\label{sec:vert} }

Do sk�adania macierzy wykorzystuje si� �rodowisko \ei{array}.
Jest ono podobne do omawianego uprzednio �rodowiska
\texttt{tabular}.  U�ywane tu polecenie~\verb|\\| oznacza
przej�cie do nowego wiersza macierzy.
%
\begin{example}
\begin{displaymath}
\mathbf{X} =
\left( \begin{array}{ccc}
x_{11} & x_{12} & \ldots \\
x_{21} & x_{22} & \ldots \\
\vdots & \vdots & \ddots
\end{array} \right)
\end{displaymath}
\end{example}
%
\noindent
�rodowiskiem \ei{array} mo�emy si� pos�u�y� tak�e
do sk�adania wyra�e� zawieraj�cych tylko jeden
ogranicznik, po prawej lub lewej stronie, stosuj�c konstrukcj�
\verb|\right.| (lub \verb+\left.+).
%
\begin{example}
\begin{displaymath}
y = \left\{ \begin{array}{ll}
a & \textrm{je�eli $d>c$}\\
b+x & \textrm{rano}\\
l & \textrm{w~ci�gu dnia}
\end{array} \right.
\end{displaymath}
\end{example}
%
\noindent
Do sk�adu wyra�e� wielowierszowych mo�na 
zamiast �rodowiska \texttt{equation}
u�y� �rodowisk \ei{eqnarray} lub \verb|eqnarray*|.  
W~�rodowisku \texttt{eqnarray} ka�dy wiersz
zawartego w~nim wyra�enia posiada osobny numer; w~�rodowisku
\verb|eqnarray*| wiersze nie s� numerowane. Dzia�anie
�rodowisk \texttt{eqnarray} oraz \verb|eqnarray*| jest zbli�one
do trzykolumnowej tabeli typu \verb|{rcl}|. W~takiej tabeli
w~�rodkowej kolumnie wstawiamy zwykle znaki r�wno�ci lub
nier�wno�ci.  Poleceniem~\verb|\\| �amiemy poszczeg�lne
wiersze tej tabeli (�rodowiska).
%
\begin{example}
\begin{eqnarray}
f(x) & = & \cos x \\
f'(x) & = & -\sin x \\
\int_{0}^{x} f(y)dy &
= & \sin x
\end{eqnarray}
\end{example}
%
\noindent
Zwr��my uwag�, �e po obu stronach znaku r�wno�ci
odst�p, kt�ry wstawi� tam {\LaTeX}, jest zbyt du�y.
Mo�emy go zmniejszy� za pomoc� polecenia
\verb|\setlength\arraycolsep{2pt}|\index{arraycolsep@\verb+arraycolsep+}.

{\LaTeX} nie dzieli automatycznie wyra�e� nie mieszcz�cych
sie w~jednym wierszu.  Musimy to zrobi� sami. Najcz�ciej 
w~taki~oto spos�b:
%
\begin{example}
{\setlength\arraycolsep{2pt}
\begin{eqnarray}
\sin x & = & x -\frac{x^{3}}{3!}
+\frac{x^{5}}{5!}-{}
\nonumber\\
& & {}-\frac{x^{7}}{7!}+{}\cdots
\end{eqnarray}}
\end{example}
%\pagebreak[1]

\begin{example}
\begin{eqnarray}
\lefteqn{ \cos x = 1
-\frac{x^{2}}{2!} +{} }
\nonumber\\
& & {}+\frac{x^{4}}{4!}
-\frac{x^{6}}{6!}+{}\cdots
\end{eqnarray}
\end{example}
%
%\enlargethispage{\baselineskip}
%
\noindent
{\LaTeX} nie wstawia numeru w~tym wierszu wyra�enia, w~kt�rym
pojawia~si� polecenie \verb|\nonumber|.

Z�o�enie w~ten spos�b du�ych i~skomplikowanych
wyra�e� mo�e~si� jednak okaza� zbyt~trudne; lepiej wtedy
u�y� pakietu \pai{amsmath}.

\section{Stopie� pisma}

W~trybie matematycznym stopie� pisma dobierany jest automatycznie,
w~zale�no�ci od kontekstu. Przyk�adowo, indeksy g�rne {\LaTeX} sk�ada
mniejsz� czcionk�. Gdy zachodzi potrzeba z�o�enia fragmentu normalnego
tekstu wewn�trz wyra�enia matematycznego, a~wykorzystamy polecenie
\verb|\textrm|, to nie zadzia�a mechanizm prze��czania stopni pisma. 
Dzieje si� tak dlatego, �e polecenie \verb|\textrm| powoduje
tymczasowe przej�cie do trybu tekstowego.

Zamiast \verb|\textrm| mo�na u�y� polecenia \verb|\mathrm|, kt�re
zachowuje mechanizm zmiany stopni pisma. Pami�tajmy jednak, �e 
dzia�a on dobrze w~zasadzie tylko dla pojedynczych liter.
W~dalszym ci�gu ignorowane s� bowiem odst�py mi�dzy wyrazami, 
a~mechanizm akcentowania nie~dzia�a zgodnie 
z~naszymi oczekiwaniami\footnote{W~pakiecie 
\AmS-\LaTeX{} automatyczn� zmian� 
 stopnia pisma w~zale�no�ci od kontekstu 
 umo�liwia polecenie \ci{textrm}.}.
%
\begin{example}
\begin{equation}
2^{\textrm{nd}} \quad
2^{\mathrm{nd}}
\end{equation}
\end{example}
%
\noindent
Czasami musimy wyra�nie okre�li� stopie� pisma, jakim
chcemy si� pos�u�y�.  W~trybie matematycznym
mo�emy do tego wykorzysta� cztery nast�puj�ce polecenia:
%
\begin{flushleft}
\ci{displaystyle}~($\displaystyle 123$),
\ci{textstyle}~($\textstyle 123$),
\ci{scriptstyle}~($\scriptstyle 123$) oraz
\ci{scriptscriptstyle}~($\scriptscriptstyle 123$).
\end{flushleft}
%
\noindent
Zmiana stylu dotyczy tak�e sposobu sk�adania indeks�w
g�rnych i~dolnych takich, jak mi�dzy innymi granice sumowania czy
ca�kowania.

\begin{example}
\begin{displaymath}
\mathop{\mathrm{cov}}(X,Y)=
\frac{\displaystyle
\sum_{i=1}^n(x_i-\overline x)
(y_i-\overline y)}
{\displaystyle\biggl[
\sum_{i=1}^n(x_i-\overline x)^2
\sum_{i=1}^n(y_i-\overline y)^2
\biggr]^{1/2}}
\end{displaymath}
\end{example}
% This is not a math accent, and no maths book would be set this way.
% mathop gets the spacing right.

\noindent
Powy�szy przyk�ad ilustruje sytuacj�, w~kt�rej
nale�y wykorzysta� polecenie \verb+\bigg+, poniewa�
nawiasy utworzone za pomoc� konstrukcji \verb|\left[|~i~\verb|\right]| s�
zbyt ma�e.

%%
\section{Twierdzenia, definicje, itp.\label{sec:newt} }

W~pracach matematycznych wyst�puje potrzeba wyr�niania w~sk�adzie
zapisu lemat�w, definicji, aksjomat�w i~tym podobnych
element�w. Do tego celu mamy w~\LaTeX-u  polecenia:
%
\begin{command}
\ci{newtheorem}\verb|{|\emph{nazwa}\verb|}[|\emph{nazwa'}\verb|]{|%
\emph{tekst}\verb|}[|\emph{punkt}\verb|]|
\end{command}
%
\noindent
Argument \emph{nazwa} oznacza nazw� �rodowiska. Argument
\emph{tekst} to nazwa elementu, kt�ra pojawi si�
na wydruku. Mo�e to by� ,,Twierdzenie'', ,,Definicja'' itp.
Argumenty w~nawiasach kwadratowych s� nieobowi�zkowe. 
Za ich pomoc� okre�lamy spos�b numerowania twierdze�. 
Argument \emph{nazwa'} to nazwa elementu, 
kt�ry zdefiniowano uprzednio poleceniem \ci{newtheorem}.  
Je�li ten argument podano, to �rodowisko \mbox{\emph{nazwa}} b�dzie
numerowane w~taki sam spos�b co �rodowisko
\emph{nazwa'}. 
Ponadto oba �rodowiska maj� wsp�ln� a~nie osobn� numeracj�.
Argument \emph{punkt} dotyczy natomiast numerowania
twierdze� wewn�trz okre�lonej jednostki
podzia�u\footnote{\begin{TPcomment} Gdy umie�cimy tam na przyk�ad
    \texttt{chapter}, to elementy b�d� numerowane w~obr�bie
    rozdzia��w.\end{TPcomment}}.

Po umieszczeniu instrukcji 
\ci{newtheorem}\verb+{+\emph{nazwa}\verb+}...+
w~preambule, �rodowisko
\emph{nazwa} mo�na wykorzystywa� w~dokumencie 
w~nast�puj�cy spos�b:
%
\begin{code}
\verb|\begin{|\emph{nazwa}\verb|}[|\emph{tekst}\verb|]|\\
Oto moje interesuj�ce twierdzenie\\
\verb|\end{|\emph{nazwa}\verb|}|
\end{code}
%
Tyle teoria. Nast�puj�ce przyk�ady, miejmy nadziej�,
usun� wszelkie w�tpliwo�ci i~jednocze�nie u�wiadomi�
nam, �e polecenie \verb|\newtheorem| mo�e by� cokolwiek 
trudne do zrozumienia.
%
\begin{example}
% definicje w~preambule
\newtheorem{twr}{Twierdzenie}
\newtheorem{lem}[twr]{Lemat}
% po \begin{document}
\begin{lem} Pierszy
lemat\dots\label{lem:1} \end{lem}
\begin{twr}[Dyzma]
Przyjmuj�c w~lemacie~\ref{lem:1},
�e $\epsilon=0$\dots \end{twr}
\begin{lem}Trzeci lemat\end{lem}
\end{example}
%
\noindent
Elementy Twierdzenie i~Lemat wykorzystuj� ten sam licznik. Argument
nieobowi�zkowy (wewn�trz nawias�w kwadratowych) s�u�y do
umieszczenia nazwiska tw�rcy, komentarza itp.
%
\begin{example}
\newtheorem{mur}{Murphy}[section]
\begin{mur} Je�eli istniej� dwa 
sposoby lub wi�cej wykonania czego�,
przy czym jeden z~nich prowadzi do
katastrofy, to spos�b ten zostanie
przez kogo� wybrany.\end{mur}
\end{example}
%
\noindent
Numeracja twierdzenia ,,Murphy'ego'' jest tu powi�zana z
numeracj� kolejnych punkt�w.  Mo�liwe jest tak�e
wykorzystanie do numeracji twierdze� innych jednostek podzia�u
dokumentu, jak rozdzia�y czy podpunkty.

%%
\section{Symbole p�grube }

Wstawianie symboli p�grubych jest w~\LaTeX-u
zadaniem do�� trudnym. By� mo�e jest tak celowo, poniewa�
amatorzy-sk�adacze maj� sk�onno�ci do ich
nadu�ywania. Poleceniem \verb|\mathbf| uzyskamy odmian�
p�grub�. Niestety, nie b�dzie to p�gruba kursywa,
jak� zwykle sk�adane s� symbole matematyczne.  Istnieje, co
prawda, polecenie \ci{boldmath}, ale mo�na go u�y�
jedynie \emph{poza trybem matematycznym}. 
Jego dzia�anie obejmuje te� symbole.
%
\begin{example}
\begin{displaymath}
\mu, M \qquad \mathbf{M} \qquad
\mbox{\boldmath $\mu, M$}
\end{displaymath}
\end{example}
%
\noindent
Zwr��my uwag�, �e przecinek te� jest p�gruby;
efekt to raczej niepo��dany.

Pakiet \pai{amsbsy} (do��czany przez \pai{amsmath}) czyni nasze zadanie
du�o �atwiejszym.  W~pakiecie tym wyst�puj� polecenia \ci{boldsymbol}
oraz \ci{pmb}. Instrukcja \texttt{pmb} imituje znak p�gruby przez
wydrukowanie dw�ch nak�adaj�cych si� na siebie znak�w, z�o�onych
w~odmianie normalnej. Umo�liwia to stosowanie symboli p�grubych, 
nawet wtedy, gdy w~systemie brak odpowiednich font�w.

\ifx\boldsymbol\undefined\else
\begin{example}
\begin{displaymath} \mu, M \quad
\boldsymbol{\mu},\boldsymbol{M}\quad
\pmb{\mu}, \pmb{M} \end{displaymath}
\end{example}
\fi

\input {lssym}
\endinput

%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "lshort2e"
%%% End:















